图1 纯经营项目需求函数
随着中国经济高速高质量发展，新型城镇化建设加快，基础设施和公用事业作为发展建设的基础，政府财政已经无法支撑其资金投入，资金短缺成为制约基础设施建设的瓶颈。BOT融资模式(Build-Operate-Transfer，即建设-运营-移交)在基础设施和公用事业建设领域的基本思路是：由私人企业(项目公司)作为项目发起人，与政府部门通过签订特许协议获得某个基础设施或公用事业项目特许经营权，然后承担项目融资、设计、建设和运营，在协议约定的特许期内融资建设和运营，通过向用户收费或出售产品等方式收回投资并获取利润。特许期满后，项目公司将该项目无偿或以较低价格移交给政府[1-2]。特许期长短直接关系着政府与项目公司间的利益分配，特许期长，则政府运营时间短，政府利益受损；特许权期短，则项目公司无法回收投资，其利益受损，甚至导致BOT项目失败。
目前，国内外学者对于特许期的确定方法主要包括净现值法、博弈论和蒙特卡洛模拟法，一般都是结合委托代理理论与实物期权理论确定。李启明、申立银[3]，秦璇[4]通过分析预测未来项目的现金流，以净现值特征为依据建立了决策模型。 Shen等[5]基于讨价还价模型，介绍了一种新的特许期确定方法——BOT谈判特许模型，该方法考虑了有关BOT合同双方政府和投资者的谈价还价行为。杨宏伟等[6]基于博弈理论研究特许期问题，得出特许期由项目收回成本时间和获取合理收益时间两部分组成。Xueqing Zhang&M Asce[7]考虑到PPP项目的财务特征和建设运营要求，特别是基于仿真方法，结合关键路径法和蒙特卡罗模拟了技术量化决策过程中的建设和市场风险。高丽峰等[8]发现，政府和项目公司项目特许经营，实质上是一种委托—代理关系。彭鹏[9]通过分析识别供水PPP项目中的实物期权特性及特许期谈判区间，构建了基于实物期权的供水PPP项目特许期决策模型。
特许经营项目在国内外都有实施，但对于特许期决策和调整并没有统一的模型，也没有充足的实践案例作为支撑以探寻BOT项目潜在规律。因此，针对公用事业特许经营项目特许期进行决策研究，确定合理的特许权期，并根据实际经营情况适时对特许期进行调整具有重要意义。本研究以博弈论为基础，以公用事业BOT项目作为研究对象，以政府社会福利最大化和项目公司收益最大化为目标，建立纯经营性项目中政府和项目公司两个主体之间的完全信息动态博弈模型，重点进行特许期调整，以期为相关领域探索和项目公司与政府确定合理的特许权期提供理论指导和依据。
我国的公用事业项目通常可划分为经营性项目和非经营性项目两类，本文主要研究纯经营项目决策。在特许经营谈判过程中，政府和项目公司在互相了解彼此信息的基础上，由政府先行动，决定项目特许期，项目公司后行动，在政府已经作出的决策上决定符合自身利益的建设成本。本研究完全信息动态博弈是指各参与方在战略选择和行动上有先后顺序且后选择一方可以看到前者选择，同时各参与方间对彼此信息、收益相互了解。由此可见，政府与项目公司间的博弈属于完全信息动态博弈。
本研究将特许期和建设成本分别作为政府和项目公司的决策变量，以政府实现社会效益最大化和项目公司实现自身收益最大化为决策原则，构建特许期决策博弈模型并采用逆向归纳法求解。在纯经营项目中得到预期需求函数下的最优特许期，同时将需求函数、供应量函数、项目公司变动运营成本、政府补贴和消费者剩余等纳入模型中，构建两个主体间的博弈模型并得出最优均衡解。另外，分析特许期和影响特许期各因素间的关系。
H1：假定纯经营项目周围社会经济环境稳定，项目需求量不受时间、人口、环境等因素的影响，且周围没有与之相竞争的同类项目，需求量由项目产品和服务价格P决定，随价格上升而减少。将纯经营项目面对的市场需求量设为Q，那么项目需求函数可设为：
Q=α-βP
(1)
其中，α>0，β>0，α、β均为常数见图1。
图1 纯经营项目需求函数
H2：政府以社会效益最大化为目标，在准经营项目中，社会效益可用项目公司收益和消费者剩余衡量。消费者剩余是指消费者购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和支付的实际总价格间的差额。设商品或服务价格为P0，需求为Q0，反需求函数为p=f(Q)，根据假设H1需求函数为Q=α-βP，那么反需求函数为f(Q)=(α-Q)/β，消费者剩余CS可用需求线以下、市场价格线以上的面积表示为：
CS=
f(Q)dQ-P0Q0
(2)
(1)模型构建。以项目公司自身收益最大化为目标，则项目公司的期望效用为：
max[
PQ-V(C)-M]dt-C
(3)
以社会效益最大化为目标，则政府的期望效用为：
max[(PQ-V(C)-M)dt-
(4)
s.t.max[
(PQ-V(C)-M)]dt-C≥CR
(5)
其中，式(4)是政府的期望效用，前两项表示项目公司净收益，第三项表示消费者剩余。式(5)是政府决策约束条件，代表项目公司在特许权期内的收益不能低于投资于其它项目的最大收益，也即机会成本，CR表示项目公司的预期净收益，R为项目公司预期收益率。
(2)模型求解与分析。针对完全信息博弈模型，一般采用逆向归纳法求解，在政府给定特许期T的基础上求项目公司的最优决策。将式(1)带入式(3)并简化可得：
max[PT(α-βP)-C-(kC-a+M)T]
(6)
利用式(4)、式(5)构造拉格朗日函数，令λ为拉格朗日乘数，并对其中的T、λ求导，根据最优化两个一阶条件可得：
进一步求解可得政府最优特许期：
(9)
由式(9)可以看出，特许期长短与建设成本、特许价格、消费者需求量有关。∂T/∂C>0时，特许期与建设成本正相关，投入的建设成本越高，收回成本的时间越久，特许期越长；反之，需要的特许期就越短。∂T/∂(PQ)<0时，特许期长度与项目收益负相关，项目收益越多，投资回收期越短，要求的特许期就越短；反之，弥补成本速度越慢甚至入不敷出，要求的特许期就越长。
采用固定特许期模式的纯经营性公用事业BOT项目，在需求函数偏离预期的情况下，很可能存在项目公司收益偏离预期，导致项目公司获得超额收益或者亏损的情况。当纯经营项目实际需求与预期需求发生偏离时，可通过提高或降低价格、缩短或延长特许期以及两者同时调整等方式，实现项目公司、消费者和政府的利益均衡，保证风险和利益的公平分摊。研究根据需求量减少或增加，建立价格和特许期进行单一或联动调整模型，为特许期调整提供理论依据。
根据前文建立的纯经营性项目特许期模型，假设初期项目特许期长度为T，特许期价格为P0，则初始供应量为Q0，当项目运营到第n年(n<T)时，项目实际需求量与预期需求量出现较大偏移，并且预期在剩余特许期内由于需求量变动，项目公司实际收益偏离预期收益。因此，需要对特许经营项目价格和特许期进行调整，以保证项目公司合理收益水平。不考虑时间价值，那么前n年项目公司已经获得的收益为Rn：
Rn=[P0Q0-(kC-a+M+C)]n
(10)
项目公司预期接下来的(T-n)年特许期内的收益为RT-n：
RT-n=RT-Rn=[P0Q0-(kC-a+M+C)](T-n)
(11)
在项目运营过程中，由于法律法规、政策变化、经济环境改变、竞争性项目出现和不可抗力等原因，导致项目实际需求量低于预期需求量，假设改变后的需求函数为：
(12)
因为实际需求量相比于原需求量是降低的，也就是说在保持原价格P0水平上，实际需求量
其中A1、α分别代表了新需求函数和原需求函数在价格为零情况下的需求量；
分别代表新需求函数和原需求函数在需求量为零情况下的价格。所以，需求量减少后的需求函数，需满足以下列条件：
如图2所示，即原特许价格P0没有超过新需求函数下消费者能够接受的最高价，所以存在以下调整方式：
图2 新的需求函数减少且
第一，价格维持不变，特许期维持不变的情况。假设不采取任何措施，维持原来的经营战略，在需求量变化之后，仍然采用原来的特许价格P0和特许期T，那么变化后的需求量为
在(T-n)年的收益为：
(13)
项目公司预期收益差为：
(14)
由上述假设
可知ΔR>0即项目公司的实际收益比预期收益减少，减少的收益量为ΔR。如果需求量减少导致收益减少，且在项目公司承受限度内，项目公司可以承担一定的收益风险，并采取更有效的管理方法以减少运营维护成本，同时省去政府谈判成本，那么可以不采取任何措施。但如果收益减少超出了项目公司承受范围，那么就需要对价格或特许期进行调整。
第二，延长特许期，价格不变的情况。在新需求函数下，保持原来的特许价格不变，那么特许价格P0对应的需求量为
若通过延长特许期以弥补需求量减少带来的收益减少，假设将特许期延长ΔT年，那么需要满足在原需求函数下，(T-n)年的收益与新函数条件下(T+ΔT-n)的收益相同，可以得到下式：
[P0Q′-(kC-a+M)](T+ΔT-n)
经计算可得：
(15)
由假设可知α-A1>0，B1-β>0。如果P0Q′-(kC-a+M)>0，即项目每年的净收益大于零，那么可通过延长特许期的方式保证项目公司收益，延长期限为ΔT年。如果P0Q′-(kC-a+M)<0，则意味着项目公司每年净收益为负数，不仅无法获取利润，而且无法收回成本，甚至有时项目公司每年的收益要低于其运营维护成本，即使延长特许期也只能使项目公司亏损更多，此时需要采取其它措施。
第三，调整价格，特许期不变的情况。在新需求函数下，保持原来的特许期不变，调整特许价格为
那么特许价格
对应的需求量为
若通过调整特许价格弥补需求量减少带来的收益减少，那么需要满足在原需求函数下，(T-n)年的收益与新函数条件下(T-n)的收益相同，可以得到下式：
(16)
且
即调整后的特许价格既要高于达到交通饱和时的价格
又要低于政府设置的最高价格限额Pmax。上式可以得出一个关于
的一元二次方程：
求解上式可得：
(17)
当
时，存在实数解说明存在收费价格P*使得maxP(A1-B1P)≥P0Q0，根据最优化一阶条件可得
也即新需求函数中点对应的特许价格。从该点向左边移动，意味着提高价格，需求量降低；向右移动，意味着降低价格，需求量升高；在该点两侧分别有两个点收益相等。同时，当
满足约束条件时，通过调整特许价格可以弥补项目公司在需求量改变后的收益。若P0>P*，为增加收益需要降低价格，增加需求量，也就是向右移动，则调整后的价格
即
调整价格的浮动越小越有利于市场稳定，社会公众阻力越小，所以将价格调至
若P0<P*，为增加收益需要提高特许价格，也就是向左移动，则调整后的价格
即
调整价格的浮动越小越有利于市场稳定，社会公众阻力越小，所以将价格调至
当
时，那么构建的一元二次方程没有实数解，单纯调整特许价格不能满足收益要求，同时当
不能满足这一约束条件时，也就不能单纯依靠调整特许价格达到收益目标，这就需要同时调整特许价格和特许期，通过两者联合调整来保证收益目标达成。
第四，调整价格，调整特许期的情况。当不能满足这一约束条件时，可以先调整价格至
或者Pmax，同时调整项目特许期。
将价格降低到计算可以得到ΔT：
(18)
将价格调高至Pmax，计算可得到ΔT：
(19)
当时，不存在实数解，只调整价格不调整特许期不能满足要求，所以需要同时延长特许期才能保证项目公司收益。
(2)如图3所示，
即原特许价格P0超过了新需求函数下消费者能够接受的最高价，所以必须调整价格，同时可能需要配合特许期调整。
图3 新的需求函数减少且
第一，降低价格，特许期不变。在新需求函数下，保持原来的特许期不变，降低特许价格为
那么特许价格
对应的需求量为
若通过提高特许价格弥补需求量减少带来的收益减少，那么需要满足在原需求函数下，(T-n)年的收益与新函数条件下(T-n)的收益相同，可以得到下式：
且
即调整后的特许价格既要高于达到交通饱和时的价格又要低于社会公众能够接受的最高价格限额
上式可以得出一个关于的一元二次方程：
求解上式可得：
(20)
当时，存在实数解。同时满足
的约束条件，因为
所以选择价格波动较小的
当不满足约束条件，或者时，没有实数解，需要同时调整价格和特许期。
第二，降低价格，延长特许期。当
时，降低价格至延长特许期
年。
当
若
需要将特许价格降低为P*，同时需要延长特许经营期
年；若
需要将特许价格降低为
同时需要延长特许经营期
年。
如果需求函数减少后，上述情况都不能满足，可以采取政府补偿方式，但是需要制定合理的补偿机制。或者项目将宣告失败，双方选择提前终止项目，政府回购项目。造成项目提前终止的原因很多，如国家法律政策变更、政府存在信用风险、项目存在唯一性风险、民众反对和抗议等，都将对项目持续运营产生巨大的冲击。
需求量增加后的价格和特许期调整模型原理与需求量减少的调整原理相似，具体调整策略见表1。
某市进入主城区的路桥项目建设采用BOT模式，项目公司出资、银行贷款和利息等实际总投入为C=10亿元，预期收益率为R=10%，年固定成本为M=300万，项目在运营期间的变动维护成本函数中k=2.5，a=0.6。该过江路桥的设计通行能力为5万辆/日，当特许价格为20元时，通行量为1.5万辆/日；调整价格为10元后，预计通行量为4.5万辆/日，但实际通行量为4.2万辆/日，那么预计需求函数为：
Q(p)=27.36-1.093p p≥8.335
表1 纯经营项目的调整
需求量减少P0<P'1maxP0>P'1max特许价格不变,延长特许期:ΔT=[α-A1+(B1-β)P0]P0(T-n)P0Q'-(kC-a+M)(P0Q'-(kC-a+M)>0)特许期不变,调整特许价格:P'11、P'12(Δ≥0且P'1min<P'11<P'12<Pmax)特许价格为P'1min调整特许期ΔT=(P0Q0-P'1minQ'1min)(T-n)P'1minQ'1min-(kC-a+M)特许价格为P*,同时调整特许期ΔT=(P0Q0-P*Q*')(T-n)P*Q*'-(kC-a+M)特许价格为Pmax,同时调整特许期ΔT=(P0Q0-PmaxQ'max)(T-n)PmaxQ'max-(kC-q+M)降低价格,特许期不变:P'22(Δ≥0且P'1min<P'22<P'1max)若P'1min<P*特许价格为P*,同时需要延长特许经营期ΔT=(P0Q0-P*Q*')(T-n)P*Q*'-(kC-a+M)若P'1min>P*特许价格为P'1min需要延长特许经营期ΔT=(P0Q0-P'1minQ'1min)(T-n)P'1minQ'1min-(kC-a+M)年需求量增加P0>P'2minP0<P'2min特许价格不变,缩短特许期:ΔT=[A2-α+(β-B1)P0]P0(T-n)P0Q'-(kC-a+M)(P0Q'-(kC-a+M)>0)特许期不变,调整特许价格:P'31、P'32(P'2min<P'3<Pmax)价格降低到P'2min缩短特许期ΔT=(P0Q0-P'2minQ')(T-n)P'2minQ'-(kC-a+M)价格调高到Pmax缩短特许期ΔT=(P0Q0-PmaxQ')(T-n)PmaxQ'-(kC-a+M)
在实际中该路桥进出主城区按照双向次票收费。不同类型车辆、不同通行方向所需通行费用存在差异，同时存在年费或者月票通过的方式，为计算方便，简化特许价格为12元，政府设置的最高价格限额Pmax=15元。将上述数据带入式(9)中，可得：
由上述方程得出项目特许期为23年。
(1)需求量减少较小。若项目在运营第5年需求量变小，在此为便于计算令B1=β，得到新需求量函数为：
Q(p)=26.26-1.093p p≥7.33
根据需求量减少后的调整模型，
属于第一种情况，也即特许价格没有超过新需求函数下消费者能够接受的最高价。
第一，保持项目特许价格不变，调整特许期。根据只延长特许期的模型，带入式(5)中：
年
由于项目实践中特许期长度通常取整数，保持项目特许价格不变，特许期延长3年。
第二，保持项目特许期不变，调整特许价格。根据建立的模型中式(17)中，计算所以单纯依靠调整特许期无法弥补项目因为实际需求量减少导致的利润，需要同时调整价格和特许期。
第三，调整特许价格，调整特许期。根据模型可以求得p*⊆
所以P0<P*，若P*<Pmax需要将特许价格提高为P*，同时需要延长特许经营期：
年
比较上述两种调整方式和结果，由于项目实践中特许期长度通常取整数，可以知道选择特许价格不变，延长特许期3年既能满足要求，又能够避免价格上涨带来的谈判和公众阻力。
(2)需求量大大减少。若项目在运营第10年需求量大大减少，假设新需求量函数为：
Q(p)=21.88-1.093p p≥3.32
根据需求量减少后的调整模型，
属于第二种情况，也即特许价格超过了新需求函数下消费者能够接受的最高价。
第一，降低价格，特许期不变。将数据带入根据式(20)中，计算可得
单纯依靠调整特许期无法弥补项目因实际需求量减少导致的利润损失，需要同时调整价格和特许期。
第二，降低特许价格，调整特许期。满足
需要将特许价格降低为P*=10，同时需要延长特许经营期
年，超过了政府允许的最长特许期。
由此可以看出，因为需求量大大减少，需要延长特许期18年，但是在实际中这种方式不可行。这意味着项目在运营过程中遭到了严重的需求风险，可能是遇到了竞争性项目，项目公司已经无法收回投资，此时可以采取政府回购等方式提前结束项目。
(3)需求量增加较小。若项目在运营第5年需求量增加，在此为便于计算令B1=β，得到新需求量函数为：
Q(p)=30.636-1.093p p≥11.33
根据需求量减少后的调整模型，
属于第一种情况，即原特许价格P0没有低于新需求函数下达到交通量饱和时的特许价格。
第一，保持项目特许价格不变，调整特许期。根据缩短特许期的模型，可得：
年
由于项目实践中特许期长度通常取作整数，保持项目特许价格不变，特许期缩短5年。
第二，保持项目特许期不变，调整特许价格。
不满足
所以单纯依靠调整价格不可行。
第三，调整特许价格，调整特许期。若
和
都不满足
这一约束条件，可以先调整价格至
或者Pmax，同时缩短项目特许期。调整价格至
元，调整力度不大，没有较大意义，所以调整价格至Pmax=15元。可得：
通过比较上述情况，可知缩短特许期5年最优。
(4)需求量增加较大。如果项目在运行第5年需求量大大增加，与特许价格为10元时，实际需求量为6万辆/日，大大超过该路桥5万辆/日的设计通行能力，使得该路段交通堵塞严重，并且增加了维护成本。假设新需求函数为：
Q(p)=32.79-1.093P p≥13.3
根据需求量增加后的调整模型，属于第二种情况。如果维持原特许价格P0，那么项目将长期处于超载状态，如上述实际需求量为6万辆/日，超过设计通行能力，那么依靠降低调整特许价格或单一调整特许期不能满足要求。
第一，提高价格，特许期不变。
元
不满足
单独调整特许价格不可行，需要同时调整特许期和特许价格。
第二，提高价格，调整特许期。根据模型需要提高价格Pmax=15元，代入得：
年
因此，需要调整特许价格至15元，并且缩短特许期7年。
本研究以公用事业BOT项目为对象，基于完全信息博弈理论，针对纯经营性项目，在需求函数的基础上，以政府追求社会效益最大化和项目公司追求自身经济效益最大化为决策原则，建立了特许期决策模型，通过逆向归纳法求得模型的最优解。在构建公用事业项目特许期决策模型的基础上，针对纯经营项目，在需求函数增加和减少两种情况下，建立了特许期调整模型，讨论了只调整特许期特许价格不变、只调整价格特许期不变以及特许价格和特许期同时调整的决策方案，并通过相应实例进行了验证，以期为相关领域探索和项目公司与政府确定合理的特许权期，以及根据现实运营情况对特许权期进行调整提供理论依据和支持。
根据本研究讨论，结合我国现阶段公共事业BOT项目决策模式，对我国纯经营项目特许期决策模式发展提出以下建议：
(1)加强项目收益水平科学测算，合理确定经营特许期。不同地区、行业的BOT项目投融资模式、项目运营方案及收益分配等存在差异，不合理的收益水平会损害项目公司和政府利益。因此，在考虑政府与公司分担风险的前提下，不同地区、不同行业收益标准(内部收益率、投资回报率、净现值和净收益现值)应该科学测算并满足本地区、行业要求，以提高经营特许期的合理性，保证项目公司和政府利益。
(2)完善法律法规，提高项目的规范化、制度化。为保障项目公司和政府各方利益，实现风险公平分担，应完善的法律法规，维护公平公正的法治环境，提高参与方法治精神和契约精神，能够有法可依，依法办事。构建适应各模式的项目招标评标文件、项目收益和补贴标准、特许合同范本、特许期调整方案、政府监督规章等规范化制度化体系，在实际中按照规章办事，减少运行过程中的摩擦。
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